Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA₁=2，AC=1，M，N分別是A₁B₁，BC的中點．
（Ⅰ）證明：MN∥平面ACC₁A₁；
（II）求二面角M-AN-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：解法一：依條件可知AB、AC，AA₁兩兩垂直，如圖，以點A為原點建立空間直角坐標系A-xyz．
（I）利用線的方向向量與面的法向量垂直證線面平行．
（II）求出兩個平面的法向量利用公式求出兩個平面的夾角的函數(shù)值即可．
解法二：利用空間幾何的點線面的定理與定義證明．
（I）設AC的中點為D，連接DN，A₁D，證明四邊形A₁DNM是平行四邊形，得出線線平行，用判定定理證線面平行．
（II）依定義作出二面角的平面角，在直角三角形中求它的三角函數(shù)值，再求角．
解答：解：
解法一：依條件可知AB、AC，AA₁兩兩垂直，
如圖，以點A為原點建立空間直角坐標系A-xyz．
根據(jù)條件容易求出如下各點坐標：A（0，0，0），B（0，2，0），C（-1，0，0），A₁（0，0，2），B₁（0，2，2），C₁（-1，0，2），M（0，1，2），（2分）
（I）證明：∵
是平面ACCA₁的一個法向量，
且，
所以（4分）
又∵MN?平面ACC₁A₁，∴MN∥平面ACC₁A₁（6分）
（II）設n=（x，y，z）是平面AMN的法向量，
因為，
由（8分）
得
解得平面AMN的一個法向量n=（4，2，-1）（10分）
由已知，平面ABC的一個法向量為m=（0，0，1）（11分）
（13分）
∴二面角M-AN-B的余弦值是（14分）

解法二：
（I）證明：設AC的中點為D，連接DN，A₁D
∵D，N分別是AC，BC的中點，
∴（1分）
又∵，
∴，∴四邊形A₁DNM是平行四邊形
∴A₁D∥MN（4分）
∵A₁D?平面ACC₁A₁，MN?平面ACC₁A₁
∴MN∥平面ACC₁A₁（6分）

（II）如圖，設AB的中點為H，連接MH，
∴MH∥BB₁
∵BB₁⊥底面ABC，
∵BB₁⊥AC，BB₁⊥AB，
∴MH⊥AC，AH⊥AB
∴AB∩AC=A
∴MH⊥底面ABC（7分）
在平面ABC內(nèi)，過點H做HG⊥AN，垂足為G
連接MG，AN⊥HG，AN⊥MH，HG∩MH=H
∴AN⊥平面MHG，則AN⊥MG
∴∠MGH是二面角M-AN-B的平面角（9分）
∵MH=BB₁=2，
由△AGH∽△BAC，得
所以
所以
∴二面角M-AN-B的余弦值是（14分）
點評：考查線面平行與線面垂直的證明，本題方法一用的是空間向量法，此法的特點是運算量大，而方法二的特點是作輔助線較難，請讀者在做本題時仔細體會兩種方法的難易及優(yōu)缺點．