Question

已知直線l：（2a+b）x+（a+b）y+a-b=0．
（1）證明直線l過定點，并求出該定點的坐標；
（2）求直線l與第二象限所圍成三角形的面積的最小值，并求面積最小時直線l的方程．

Answer 1

考點：恒過定點的直線

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）直線l：（2a+b）x+（a+b）y+a-b=0化為a（2x+y+1）+b（x+y-1）=0，即可得出結論；
（2）利用截距式、基本不等式及其三角形的面積計算公式即可得出．

解答： 解：（1）a（2x+y+1）+b（x+y-1）=0
得

2x+y+1=0 x+y-1=0

⇒

x=-2 y=1

…（4分）
∴直線恒過定點（-2，1）…（6分）
（2）設直線的橫截距縱截距分別為-a，b
∴直線的方程為

x

-a

+

y

b

=1，
代入（-2，1），可得

2

a

+

1

b

=1…（8分）
又∵

2

a

+

1

b

=1≥2

2 ab

，∴1≥

8

ab

，ab≥8…（12分）
∴S=

1

2

ab≥4…（14分）
“=”號成立時，a=4，b=2，方程為x-2y+4=0…（16分）

點評：本題考查直線l過定點，考查了直線的截距式、基本不等式及其三角形的面積計算公式，比較基礎．