Question

設A為橢圓（a＞b＞0）上一點，點A關于原點的對稱點為B，F為橢圓的右焦點，且AF⊥BF，設∠ABF=θ．
（1）|AB|=________；
（2）若θ∈[，]，則該橢圓離心率的取值范圍為________．

Answer 1

解：（1）設A（x，y），B（-x，-y），F（c，0）
，
∵AF⊥BF，
∴=c²-x²-y²=0
∴x²+y²=c²=a²-b²
∴|AB|=2|AO|=
（2）∵B和A關于原點對稱
∴B也在橢圓上
設左焦點為F′
根據橢圓定義：|AF|+|AF′|=2a
又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …①
O是Rt△ABF的斜邊中點，∴|AB|=2c
又|AF|=2csinα …②
|BF|=2ccosα …③
②③代入①2csinα+2ccosα=2a
∴e==
∵a∈[π，π]
∴π≤α+π≤π
∴≤sin（α+π ）≤1
∴
故答案為：2；
分析：（1）設A（x，y），B（-x，-y），F（c，0），由AF⊥BF，可得=0，從而可得x²+y²=c²=a²-b²，|AB|=2|AO|，代入可求
（2）設左焦點為F′，根據橢圓定義：|AF|+|AF′|=2a，根據B和A關于原點對稱可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根據O是Rt△ABF的斜邊中點可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分別表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出 即離心率e，進而根據α的范圍確定e的范圍．
點評：本題主要考查了橢圓的性質的應用，向量的基本運算性質及三角函數的性質的綜合應用，解題時要特別利用好橢圓的定義．