Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$，關(guān)于x的不等式f²（x）-af（x）＞0有且只有三個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{ln5}{5}$，$\frac{ln2}{2}$）
• B． [$\frac{ln5}{5}$，$\frac{ln3}{3}$）
• C． （$\frac{ln5}{5}$，$\frac{ln2}{2}$]
• D． （$\frac{ln5}{5}$，$\frac{ln3}{3}$]

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）的單調(diào)性，通過(guò)討論a的符號(hào)，解關(guān)于f（x）的不等式結(jié)合不等式解的個(gè)數(shù)，求出n的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜e，
令f′（x）＜0，解得：x＞e，
∴f（x）的遞增區(qū)間為（0，e），遞減區(qū)間為（e，+∞），
故f（x）的最大值是f（e）=$\frac{1}{e}$，
x→+∞時(shí)，f（x）→0，x→0時(shí)，x→-∞，f（1）=0，
故在（0，1）時(shí)，f（x）＜0，在（1，+∞）時(shí)，f（x）＞0，
∴a＜0時(shí)，由不等式f²（x）-af（x）＞0得f（x）＞0或f（x）＜a，
而f（x）＞0的解集為（1，+∞），整數(shù)解有無(wú)數(shù)多個(gè)，不合題意；
a=0時(shí)，由不等式f²（x）-af（x）＞0，得f（x）≠0，解集為（0，1）∪（1，+∞），
整數(shù)解有無(wú)數(shù)多個(gè)，不合題意；
a＞0時(shí)，由不等式f²（x）-af（x）＞0，得f（x）＞a或f（x）＜0，
∵f（x）＜0的解集為（0，1）無(wú)整數(shù)解，
若不等式f²（x）-af（x）＞0有且只有三個(gè)整數(shù)解，
∵f（x）在（0，e）遞增，在（e，+∞）遞減，
而2＜e＜3，f（2）=f（4），
所以，三個(gè)正整數(shù)為3，4，5，而f（4）=$\frac{ln2}{2}$，
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{ln5}{5}$，$\frac{ln2}{2}$），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．