Question

8．已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，${S}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n}（{a}_{n}+1）$，n∈N^*．
（Ⅰ）求通項a_n；
（Ⅱ）若$_{n}=\frac{1}{{S}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)n=1時，a1=S1，n≥1時，a_n+1=S_n+1-S_n，化簡整理，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項公式，即可得到所求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${S}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n}（{a}_{n}+1）=\frac{1}{2}n（n+1）$，可得$_{n}=\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{2}{n（n+1）}=\frac{2}{n}-\frac{2}{n+1}$，再由數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，化簡即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ） ${a}_{1}={S}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}（{a}_{1}+1）$，a₁＞0，
解得a₁=1…（1分）
?n∈N^*，${a}_{n+1}={S}_{n+1}-{S}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n+1}（{a}_{n+1}+1）-\frac{1}{2}{a}_{n}（{a}_{n}+1）$ …（2分）
移項整理并因式分解得：（a_n+1-a_n-1）（a_n+1+a_n）=0…（4分）
因為{a_n}是正項數(shù)列，所以a_n+1-a_n-1=0，a_n+1-a_n=1…（5分）
{a_n}是首項a₁=1、公差為1的等差數(shù)列，a_n=n…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${S}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n}（{a}_{n}+1）=\frac{1}{2}n（n+1）$ …（7分）
$_{n}=\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{2}{n（n+1）}=\frac{2}{n}-\frac{2}{n+1}$，…（8分）
${T}_{n}=_{1}+_{2}+…+_{n}=（\frac{2}{1}-\frac{2}{2}）+（\frac{2}{2}-\frac{2}{3}）+…+（\frac{2}{n}-\frac{2}{n+1}）$，…（10分）
=$（\frac{2}{1}-\frac{2}{n+1}）=\frac{2n}{n+1}$．…（12分）

點評 不同考查數(shù)列的通項公式的求法，注意運用數(shù)列的遞推式，考查等差數(shù)列的通項公式的運用，以及數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．