在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)與點(diǎn)A(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng),P是動(dòng)點(diǎn),且直線AP與BP的斜率之積等于.

(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;
(Ⅱ)設(shè)直線AP和BP分別與直線交于點(diǎn)M,N,問(wèn):是否存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由。

(Ⅰ) ; (Ⅱ)存在,點(diǎn)的坐標(biāo)為

解析試題分析:(I)解:因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng),所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,-1)
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)
由題意得
化簡(jiǎn)得
故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為
(Ⅱ)解法一:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
則直線的方程式為,直線的方程式為
            6分
于是的面積 
             7分
又直線AB的方程為
點(diǎn)P到直線AB的距離                8分
于是的面積            9分
當(dāng)時(shí),得          10分
,所以,解得         12分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/5f/5/zzobz.png" style="vertical-align:middle;" />,所以。              13分
故存在點(diǎn)使得的面積相等,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為          14分
考點(diǎn):軌跡方程是求法;直線與雙曲線的綜合應(yīng)用。
點(diǎn)評(píng):求軌跡方程的基本步驟:①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,設(shè)P(x,y)是軌跡上的任意一點(diǎn);
②尋找動(dòng)點(diǎn)P(x,y)所滿(mǎn)足的條件;③用坐標(biāo)(x,y)表示條件,列出方程f(x,y)=0;④化簡(jiǎn)方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式;⑤證明所得方程即為所求的軌跡方程,注意驗(yàn)證。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知點(diǎn),點(diǎn),直線都是圓的切線(點(diǎn)不在軸上)。
⑴求過(guò)點(diǎn)且焦點(diǎn)在軸上拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
⑵過(guò)點(diǎn)作直線與⑴中的拋物線相交于、兩點(diǎn),問(wèn)是否存在定點(diǎn),使.為常數(shù)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)與常數(shù);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

(本小題滿(mǎn)分12分) 已知直線L:y=x+1與曲線C:交于不同的兩點(diǎn)A,B;O為坐標(biāo)原點(diǎn)。
(1)若,試探究在曲線C上僅存在幾個(gè)點(diǎn)到直線L的距離恰為?并說(shuō)明理由;
(2)若,且a>b,,試求曲線C的離心率e的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

(本小題滿(mǎn)分13分)已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,1)
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)直線平行于,且與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn).
(。┤為鈍角,求直線軸上的截距m的取值范圍;
(ⅱ)求證直線MA、MBx軸圍成的三角形總是等腰三角形.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn),為其右焦點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)(點(diǎn)兩點(diǎn)之間),若的面積相等,試求直線的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

(本小題滿(mǎn)分13分)
已知橢圓的離心率為,橢圓短軸長(zhǎng)為
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知?jiǎng)又本與橢圓相交于兩點(diǎn). ①若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求斜率的值;②若點(diǎn),求證:為定值。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為,曲線的內(nèi)切圓半徑為.記為以曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)是過(guò)橢圓中心的任意弦,是線段的垂直平分線.上異于橢圓中心的點(diǎn).
(i)若為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)的軌跡方程;
(ii)若與橢圓的交點(diǎn),求的面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

在雙曲線中,F(xiàn)1、F2分別為其左右焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線上運(yùn)動(dòng),求△PF1F2的重心G的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

(本題滿(mǎn)分13分)
設(shè)點(diǎn)P是圓x2 +y2 =4上任意一點(diǎn),由點(diǎn)P向x軸作垂線PP0,垂足為Po,且
(Ⅰ)求點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線:y=kx+m(m≠0)與(Ⅰ)中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A,B.
(1)若直線OA,AB,OB的斜率成等比數(shù)列,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)若以AB為直徑的圓過(guò)曲線C與x軸正半軸的交點(diǎn)Q,求證:直線過(guò)定點(diǎn)(Q點(diǎn)除外),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

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