Question

【題目】已知函數

(1)討論函數的單凋性；

(2)若存在使得對任意的不等式（其中e為自然對數的底數）都成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：

(1)首先求解導函數，然后利用二次函數的性質結合導函數的分子分類討論函數的單調區(qū)間即可；

(2)將問題進行等價轉化，構造 ，結合函數 的性質求解實數 的取值范圍即可.

試題解析：

（I） ，記

（i）當時，因為，所以，函數在上單調遞增；

（ii）當時，因為，

所以，函數在上單調遞增；

（iii）當時，由，解得，

所以函數在區(qū)間上單調遞減，

在區(qū)間上單調遞增．

（II）由（I）知當時，函數在區(qū)間上單調遞增，

所以當時，函數的最大值是，對任意的，

都存在，使得不等式成立，

等價于對任意的，不等式都成立，

即對任意的，不等式都成立，

記，由，

，

由得或,因為，所以，

①當時， ，且時， ，

時， ，所以，

所以時， 恒成立；

②當時， ，因為，所以，

此時單調遞增，且，

所以時， 成立；

③當時， ， ，

所以存在使得，因此不恒成立．

綜上， 的取值范圍是．

另解（II）由（Ⅰ）知，當時，函數在區(qū)間上單調遞增，

所以時，函數的最大值是，

對任意的，都存在，

使得不等式成立，

等價于對任意的，不等式都成立，

即對任意的，不等式都成立，

記，

由，且

∴對任意的，不等式都成立的必要條件為

又，

由得或

因為，所以，

當時， ，且時， ，

時， ，所以，

所以時， 恒成立；

②當時， ，因為，所以，

此時單調遞增，且，

所以時， 成立．

綜上， 的取值范圍是．