已知函數(shù)，其中且.
（1）求證：函數(shù)在點(diǎn)處的切線與總有兩個不同的公共點(diǎn)；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）詳見解析；（2）實(shí)數(shù)的取值范圍是．

解析試題分析：（1）求證：函數(shù)在點(diǎn)處的切線與總有兩個不同的公共點(diǎn)，先求出函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程，因此對函數(shù)求導(dǎo)得，從而得，再求出，由點(diǎn)斜式即可得切線方程，證切線與總有兩個不同的公共點(diǎn)，即方程有兩個不同的解，即有兩個不同的解，由已知，故方程存在兩解，既得證．（2）若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個極值點(diǎn)，只需在區(qū)間上有且僅有一個解，且在解的兩邊異號，而是二次函數(shù)，故只需，即可求出的取值范圍．
（1）由已知可得.    1分
，                                  2分
又，在處的切線方程為.                       4分
令，整理得.或，          5分
  ，                                                     6分
與切線有兩個不同的公共點(diǎn).                                         7分
（2）在上有且僅有一個極值點(diǎn)，
在上有且僅有一個異號零點(diǎn)，                              9分
由二次函數(shù)圖象性質(zhì)可得，                                     10分
即，解得或，                              12分
綜上，的取值范圍是.                                         13分
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的極值．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）記曲線在點(diǎn)（其中）處的切線為，與軸、軸所圍成的三角形面積為，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

若函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處取得極大值或極小值，則稱x0為函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn)．已知a，b是實(shí)數(shù)，1和－1是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx的兩個極值點(diǎn)．
(1)求a和b的值；
(2)設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的極值點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲線y＝f(x)和曲線y＝g(x)都過點(diǎn)P(0,2)，且在點(diǎn)P處有相同的切線y＝4x＋2.
(1)求a，b，c，d的值；
(2)若x≥－2時，f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
（1）試求函數(shù)的遞減區(qū)間；
（2）試求函數(shù)在區(qū)間上的最值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)在處的切線的斜率為.
（1）求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的最大值；
（2）證明：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，曲線經(jīng)過點(diǎn)，
且在點(diǎn)處的切線為.
（1）求、的值；
（2）若存在實(shí)數(shù)，使得時，恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù) 
（1）求函數(shù)在處的切線的斜率；
（2）求函數(shù)的最大值；
（3）設(shè)，求函數(shù)在上的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)，．
（1）令，討論在內(nèi)的單調(diào)性并求極值；
（2）求證：當(dāng)時，恒有．

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