Question

18．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=0，a_n+1=a_n+2$\sqrt{{a}_{n}+1}$+1
（1）求證數(shù)列{$\sqrt{{a}_{n}+1}$}是等差數(shù)列，并求出a_n的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=$\frac{{a}_{n}•{2}^{n}}{n-1}$，求數(shù)列的前n項(xiàng)的和T_n．

Answer 1

分析 （1）變形利用等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式即可得出．
（2）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 （1）證明：由a_n+1=a_n+2$\sqrt{{a}_{n}+1}$+1=$（\sqrt{{a}_{n}+1}+1）^{2}$-1，
∴$\sqrt{{a}_{n+1}+1}$-$\sqrt{{a}_{n}+1}$=1，
故數(shù)列{$\sqrt{{a}_{n}+1}$}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
∴$\sqrt{{a}_{n}+1}$=1+（n-1）$\sqrt{{a}_{1}+1}$=n，
∴a_n=n²-1．
（2）解：b_n=$\frac{{a}_{n}•{2}^{n}}{n-1}$=（n+1）•2ⁿ，
∴數(shù)列的前n項(xiàng)的和T_n=2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）•2ⁿ，
2T_n=2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=4+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹=2+$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-（n+1）•2ⁿ⁺¹，
可得T_n=n•2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式、等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．