Question

已知函數(shù)f（x）=cosωx（sinωx+cosωx）+1（x∈R，ω＞0）的最小正周期是π．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x的集合．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先利用三角函數(shù)的恒等變換求出函數(shù)的正弦形式，進(jìn)一步利用函數(shù)的最小正周期求出函數(shù)的解析式．
（2）利用（1）求出的函數(shù)解析式進(jìn)一步求出函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=cosωx（sinωx+cosωx）+1
=

1

2

sin2ωx+

1+cos2ωx

2

+1
=

1

2

(sin2ωx+cos2ωx)+

3

2

=

2

2

sin(2ωx+

π

4

)+

3

2

函數(shù)的最小正周期是π
所以：T=

2π

2ω

=π
解得：ω=1
所以函數(shù)的解析式為f（x）=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

3

2

（2）由（1）得到：f（x）=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

3

2

令2x+

π

4

=2kπ+

π

2

解得：x=kπ+

π

8

（k∈Z）
當(dāng){x|x=kπ+

π

8

}（k∈Z）時，函數(shù)取最大值

2 +3

2

．

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，利用函數(shù)的周期求函數(shù)的解析式，求函數(shù)的最值．