Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²+m與函數(shù)g（x）=-ln$\frac{1}{x}-3x（{x∈[{\frac{1}{2}，2}]}）$的圖象上恰有兩對(duì)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． $[{\frac{5}{4}+ln2，2}）$
• B． $[{2-ln2，\frac{5}{4}+ln2}）$
• C． $（{\frac{5}{4}+ln2，2-ln2}]$
• D． （2-ln2，2]

Answer 1

分析 由已知得到方程m=-lnx+3x-x²在[$\frac{1}{2}$，2]上有兩解，構(gòu)造函數(shù)h（x）=-lnx+3x-x²，求出h（x）的最值和端點(diǎn)值，即可得到m的范圍．

解答 解：由已知得到方程f（x）=-g（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上有兩解，即m=-lnx+3x-x²在[$\frac{1}{2}$，2]上有解．
設(shè)h（x）=-lnx+3x-x²，則h′（x）=-$\frac{1}{x}$+3-2x=-$\frac{2{x}^{2}-3x+1}{x}$=-$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，
令h′（x）=0得x=$\frac{1}{2}$或x=1．
∴當(dāng)$\frac{1}{2}$＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，
∴h（x）在（$\frac{1}{2}$，1）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=1時(shí)，h（x）取得最大值h（1）=2，
∵h(yuǎn)（$\frac{1}{2}$）=ln2+$\frac{5}{4}$，h（2）=-ln2+2，且h（2）＜h（$\frac{1}{2}$），
$\frac{5}{4}$+ln2≤m＜2．
從而m的取值范圍為[$\frac{5}{4}$+ln2，2）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了構(gòu)造函數(shù)法求方程的解及參數(shù)范圍；關(guān)鍵是將已知轉(zhuǎn)化為方程x²+m=ln$\frac{1}{x}$+3x?m=-lnx+3x-x²在上有兩解，屬于中檔題．