Question

設(shè)拋物線y²=8x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B是拋物線上的點(diǎn)，
（1）如果OA、OB的斜率分別為

1

2

，-2，求直線AB與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如果OA⊥OB，求證：直線AB必過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)OA、OB的斜率分別為

1

2

，-2時(shí)，可求出OA、OB的方程，代入拋物線y²=8x中，可求出A，B坐標(biāo)，進(jìn)而得出直線AB的方程，再令方程中y=0，就可求直線AB與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）如果OA⊥OB，則OA，OB斜率都存在且互為負(fù)倒數(shù)，可設(shè)出其中一個(gè)斜率為k，則另一個(gè)斜率為-

1

k

，這樣，設(shè)出兩直線方程，分別于拋物線方程聯(lián)立，解出A，B坐標(biāo)，再求直線AB方程，看是否經(jīng)過定點(diǎn)．

解答：解：（1）直線OA：y=

1

2

x代入y²=8x解得A（32，16）
直線OB：y=-2x代入y²=8x解得B（2，-4）
∴AB方程為：y+4=

2

3

(x-2)令y=0得x=8
∴直-線AB與x軸的交點(diǎn)為N（8，0）
（2）設(shè)AB方程為：y=kx+b，（k存在）
由

y=kx+b y2=8x

消去x得：ky²-8y+8b=0，
（顯然k≠0）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0即

y 2 1 y 2 2

64

+y1y2=0
得y₁y₂=-64
∴

8b

k

=-64即b=-8k
∴AB方程為：y=kx-8k=k（x-8）
∴恒過定點(diǎn)N（8，0）
當(dāng)k不存在時(shí)容易驗(yàn)證AB方程也過定點(diǎn)N（8，0）

點(diǎn)評：本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，掌握其中設(shè)而不求的思想．