Question

7．記函數(shù)f（x）=e^x的圖象為C，函數(shù)g（x）=kx-k的圖象記為l．
（1）若直線l是曲線C的一條切線，求實數(shù)k的值．
（2）當(dāng)x∈（1，3）時，圖象C恒在l上方，求實數(shù)k的取值范圍．
（3）若圖象C與l有兩個不同的交點A、B，其橫坐標(biāo)分別是x₁、x₂，設(shè)x₁＜x₂，求證：x₁x₂＜x₁+x₂．

Answer 1

分析 （1）先設(shè)出切點坐標(biāo)P（x₀，e^x₀），再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出過P的切線方程，最后將（1，0）代入即可得P點坐標(biāo)，從而得到直線的斜率k；
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=e^x-k（x-1），確定x=lnk時，函數(shù)h（x）取得最小值k-k（lnk-1），利用當(dāng)x∈（1，3）時，圖象C恒在l上方，可得k-k（lnk-1）＞0，即可求實數(shù)k的取值范圍．
（3）證明（x₁-1）（x₂-1）＜1，即可得出結(jié)論

解答 （1）解：曲線y=e^x的導(dǎo)數(shù)為y′=e^x，設(shè)切點為P（x₀，e^x₀），則過P的切線方程為y-e^x₀=e^x₀（x-x₀）
代入（1，0）點得x₀=2，∴P（2，e²），
代入g（x）=kx-k，可得k=e²；
（2）解：令h（x）=f（x）-g（x）=e^x-k（x-1），
∴h′（x）=e^x-k，
∴x∈（1，lnk）時，h′（x）＜0，x∈（lnk，3）時，h′（x）＞0，
∴x=lnk時，函數(shù)h（x）取得最小值k-k（lnk-1），
∵當(dāng)x∈（1，3）時，圖象C恒在l上方，
∴k-k（lnk-1）＞0，
∴0＜k＜e²；
當(dāng)k≤0時，顯然成立．即有k＜e²．
（3）證明：由題意，${e}^{{x}_{1}}$=kx₁-k，${e}^{{x}_{2}}$=kx₂-k
∴${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$=k²（x₁-1）（x₂-1）＜k²，
∴（x₁-1）（x₂-1）＜1，
∴x₁x₂＜x₁+x₂．

點評 本題考察了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解題時要注意發(fā)現(xiàn)隱含條件，辨別切線的類型，分別采用不同策略解決問題．