Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）²-mln（1+x），g（x）=x²+x+a．
（Ⅰ）當a=0時，f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）當m=2時，若函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在[0，2]上恰有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）當a=0時，f（x）≥g（x）即（1+x）²-mln（1+x）≥x²+x．由于f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立，可得m≤$[\frac{1+x}{ln（1+x）}]_{min}$，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．
（II）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性，進而得出關(guān)系式．

解答 解：（I）當a=0時，f（x）≥g（x）即（1+x）²-mln（1+x）≥x²+x．
由于f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立，∴m≤$[\frac{1+x}{ln（1+x）}]_{min}$，
令h（x）=$\frac{1+x}{ln（1+x）}$，h′（x）=$\frac{ln（1+x）-1}{l{n}^{2}（1+x）}$．
令h′（x）＞0，解得x＞e-1，此時函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；令h′（x）＜0，解得0＜x＜e-1，此時函數(shù)h（x）單調(diào)遞減．
∴當x=e-1時，函數(shù)h（x）取得最小值，h（e-1）=e．
∴m≤e．
∴實數(shù)m的取值范圍是m≤e．
（II）當m=2時，若函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=1+x-2ln（1+x）-a，
h′（x）=1-$\frac{2}{1+x}$=$\frac{x-1}{x+1}$，
當x∈[0，1）時，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減；當x∈（1，2]時，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增．
∴當x=1時，函數(shù)h（x）取得最小值，h（1）=2-2ln2-a；
又h（0）=1-a，h（2）=3-2ln3-a．∴h（2）＜h（0）．
∵函數(shù)h（x）在[0，2]上恰有兩個不同的零點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{h（2）≥0}\\{h（1）＜0}\end{array}\right.$，
解得：2-2ln2＜a≤3-2ln3，
∴實數(shù)a的取值范圍是（2-2ln2，3-2ln3]．

點評 本題考查了考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．