Question

已知函數f（x）=lg

kx-1

x-1

（k∈R）．
（1）若y=f（x）是奇函數，求k的值，并求該函數的定義域；
（2）若函數y=f（x）在[10，+∞）上是單增函數，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：復合函數的單調性

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由f（-x）=-f（x）求得k=-1，再由函數的真數大于0求解函數的定義域；
（2）由f（x）在[10，+∞）上是增函數，得

10k-1

10-1

＞0，求得k的范圍，再由對任意的x₁，x₂，當10≤x₁＜x₂時，恒有f（x₁）＜f（x₂）求解對數不等式得k的范圍，最后取交集得答案．

解答： 解：（1）∵y=f（x）是奇函數，
∴f（-x）=-f（x），即lg

-kx-1

-x-1

=-lg

kx-1

x-1

，
∴

-kx-1

-x-1

=

x-1

kx-1

，即1-k²x²=1-x²，
則k²=1，k=±1．
而k=1不合題意舍去，
∴k=-1．
由

-x-1

x-1

＞0，得-1＜x＜1．
∴函數f（x）的定義域為（-1，1）；
（2）∵f（x）在[10，+∞）上是增函數，
∴

10k-1

10-1

＞0，
∴k＞

1

10

．
又f（x）=lg

kx-1

x-1

=lg（k+

k-1

x-1

），
故對任意的x₁，x₂，當10≤x₁＜x₂時，恒有f（x₁）＜f（x₂），
即lg（k+

k-1

x1-1

）＜lg（k+

k-1

x2-1

），
∴

k-1

x1-1

＜

k-1

x2-1

，
∴（k-1）•（

1

x1-1

-

1

x2-1

）＜0，
又∵

1

x1-1

＞

1

x2-1

，
∴k-1＜0，
∴k＜1．
綜上可知k∈（

1

10

，1）．

點評：本題考查了函數奇偶性的性質，考查了復合函數的單調性，訓練了對數不等式的解法，是中檔題．