Question

如圖所示，點(diǎn)A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，線段OC與線段AB交于圓內(nèi)一點(diǎn)，若

OC

=m

OA

+n

OB

，若m+n=2，則∠AOB的最小值（　�。�

• A、

  π

  6

• B、

  π

  3

• C、

  π

  2

• D、

  2π

  3

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：設(shè)圓O的半徑為1，對(duì)

OC

=m

OA

+n

OB

兩邊平方可得1=m²+2mncos∠AOB+n²，根據(jù)已知條件可知m，n∈（0，2），所以將m=2-n帶入上式并求出cos∠AOB=1+

3

2n2-4n

．容易得到n=1時(shí)cos∠AOB=-

1

2

，∠AOB取最小值

2π

3

．

解答： 解：由已知條件知，m，n∈（0，2），設(shè)圓O的半徑為1；

OC

2=(m

OA

+n

OB

)2；
∴1=m²+2mncos∠AOB+n²；
將m=2-n帶入并整理得-2n²+4n-3=（-2n²+4n）cos∠AOB；
∴cos∠AOB=1+

3

2n2-4n

；
∵n∈（0，2）時(shí)，2n²-4n＜0；
且n=1時(shí)，2n²-4n取最小值-2，1+

3

2n2-4n

取最大值-

1

2

；
此時(shí)，∠AOB=

2π

3

，即為最小值．

點(diǎn)評(píng)：考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，以及二次函數(shù)的最值，余弦函數(shù)的單調(diào)性及最值．