11.函數(shù)f(x)=a+$\frac{1}{{{4^x}+1}}$為定義在R上的奇函數(shù).
(1)求a的值;       
(2)判斷函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)的單調(diào)性并給予證明.

分析 (1)函數(shù)$f(x)=a+\frac{1}{{{4^x}+1}}$為定義在R上的奇函數(shù).則f(0)=0,解得a的值;       
(2)證法一:任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,作差判斷f(x2)與f(x1)的大小,結(jié)合單調(diào)性的定義,可得函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)的單調(diào)性;
證法二:求導(dǎo),判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),進(jìn)而可得函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)的單調(diào)性.

解答 解:(1)∵函數(shù)$f(x)=a+\frac{1}{{{4^x}+1}}$為定義在R上的奇函數(shù).
∴f(0)=0,…(2分)
即$a+\frac{1}{{{4^0}+1}}=0$,解得$a=-\frac{1}{2}$.…(4分)
(2)由(1)知$a=-\frac{1}{2}$,則$f(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{{{4^x}+1}}$,…(5分)
函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,給出如下證明:…(6分)
證法一:任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,…(7分)
則$f({x_2})-f({x_1})=(\frac{1}{2}+\frac{1}{{{4^{x_2}}+1}})-$$(\frac{1}{2}+\frac{1}{{{4^{x_1}}+1}})$
=$\frac{1}{{{4^{x_2}}+1}}-$$\frac{1}{{{4^{x_1}}+1}}$=$\frac{{{4^{x_1}}-{4^{x_2}}}}{{({4^{x_1}}+1)({4^{x_2}}+1)}}$…(9分)
=$\frac{{{4^{x_1}}(1-{4^{{x_2}-{x_1}}})}}{{({4^{x_1}}+1)({4^{x_2}}+1)}}$,…(10分)
∵x1<x2,∴x2-x1>0,∴${4^{{x_2}-{x_1}}}>1$,∴$1-{4^{{x_2}-{x_1}}}>0$,…(11分)
又∵${4^{x_1}}>0$,${4^{x_1}}+1>0$,${4^{x_2}}+1>0$,
∴$\frac{{{4^{x_1}}(1-{4^{{x_2}-{x_1}}})}}{{({4^{x_1}}+1)({4^{x_2}}+1)}}$>0,即f(x2)-f(x1)>0,
∴f(x2)>f(x1),
∴函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減.…(12分)
證法二:∵$f(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{{{4^x}+1}}$
∴$f′(x)=\frac{-ln4•{4}^{x}}{{(4}^{x}+1)^{2}}$,…(9分)
∵f′(x)<0恒成立,…(11分)
故函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的奇偶性,是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用,難度中檔.

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