Question

2．已知點P（x，y）為橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上任意一點，點Q（0，3），則|PQ|的最大值 4．

Answer 1

分析 設(shè)P（2cosα，sinα），表示出|PQ|=$\sqrt{（2cosα）^{2}+（sinα-3）^{2}}$，配方，利用二次函數(shù)及正弦函數(shù)性質(zhì)，即可求|PQ|的最大值．

解答 解：設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上一點P的坐標(biāo)為（2cosα，sinα），（0≤α＜2π），
即有|PQ|=$\sqrt{（2cosα）^{2}+（sinα-3）^{2}}$，
=$\sqrt{4co{s}^{2}α+si{n}^{2}α-6sinα+9}$，
=$\sqrt{4（1-si{n}^{2}α）+si{n}^{2}α-6sinα+9}$，
=$\sqrt{-3si{n}^{2}α-6sinα+13}$，
=$\sqrt{-3（sinα+1）^{2}+16}$，
當(dāng)sinα=-1時，|PA|取得最大值，且為4．
故答案為：4．

點評 本題考查橢圓的參數(shù)方程，兩點之間的距離公式，考查二次函數(shù)與正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查計算能力，屬于中檔題．