Question

17．設(shè)函數(shù)f（n）=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{3n+1}$，其中n∈N^*，若有f（n）＞$\frac{a}{24}$都成立．
（1）求正整數(shù)a的最大值a₀；
（2）證明不等式f（n）＞$\frac{a_0}{24}$（其中n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（1）取得最小值，即有f（1）＞$\frac{a}{24}$，解不等式可得正整數(shù)a的最小值；
（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{3n+1}$＞$\frac{25}{24}$．注意驗(yàn)證n=1，不等式成立；證明n=k+1，不等式也成立，注意運(yùn)用假設(shè)和不等式的性質(zhì)．

解答 解：（1）函數(shù)f（n）=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{3n+1}$，其中n∈N^*，若有f（n）＞$\frac{a}{24}$都成立，
當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{1}{1+1}$+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{3+1}$＞$\frac{a}{24}$，即$\frac{26}{24}$＞$\frac{a}{24}$，
即有a＜26，正整數(shù)a的最大值a₀=25；
（2）下面運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{3n+1}$＞$\frac{25}{24}$．
①當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{1}{1+1}$+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{3+1}$＞$\frac{25}{24}$成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{3k+1}$＞$\frac{25}{24}$，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，$\frac{1}{（k+1）+1}$+$\frac{1}{（k+1）+2}$+…+$\frac{1}{3（k+1）+1}$
=$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{3k+1}$+$\frac{1}{3k+2}$+$\frac{1}{3k+3}$+$\frac{1}{3k+4}$-$\frac{1}{k+1}$
＞$\frac{25}{24}$+$\frac{1}{3k+2}$+$\frac{1}{3k+4}$-$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{k+1}$，
由$\frac{1}{3k+2}$+$\frac{1}{3k+4}$=$\frac{6（k+1）}{9{k}^{2}+18k+8}$＞$\frac{2}{3（k+1）}$，
可得$\frac{1}{3k+2}$+$\frac{1}{3k+4}$-$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{k+1}$＞0，
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．
由①②可得，對(duì)一切的正整數(shù)n，$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{3n+1}$＞$\frac{25}{24}$．
即：對(duì)一切的正整數(shù)n，f（n）＞$\frac{a_0}{24}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列不等式成立及證明，注意運(yùn)用恒成立思想和數(shù)學(xué)歸納法，考查推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．