Question

已知函數(shù)．
（1）若a=-4，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）記函數(shù)g（x）=x²[f′（x）+2x-2]，若g（x）的最小值是-6，求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

解：由函數(shù)知，
（1）當(dāng)a=-4時，，
令f′（x）＞0，則，由于x＞0，即得2x²-4x-2＞0，即x²-2x-1＞0，解得：；
令f′（x）＜0，則，由于x＞0，即得2x²-4x-2＜0，即x²-2x-1＜0，解得：．
因此，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是．
（2）由于函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，則在[1，+∞）上恒成立．
由于x≥1，得到即在[1，+∞）上恒成立．
而函數(shù)在[1，+∞）上是減函數(shù)，且，
因此，實數(shù)a的取值范圍是a≥0．
（3）由題意知，函數(shù)g（x）=x²[f′（x）+2x-2]=2x³+ax-2（x＞0），
則g′（x）=6x²+a，令g′（x）=0得到或（舍），
且當(dāng)時，g′（x）＜0；當(dāng)時，g′（x）＞0，
則函數(shù)g（x）=2x³+ax-2（x＞0）在時取得極小值g（）=，也是定義域上的最小值．
又g（x）的最小值是-6，則，解得a=-6．
因此，函數(shù)f（x）的解析式為．
分析：（1）對函數(shù)進行求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)大于0求出x的范圍，令導(dǎo)函數(shù)小于0求出x的范圍，即可得到答案；
（2）要使函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，列出不等式在[1，+∞）上恒成立，利用在[1，+∞）上單調(diào)遞減，最大值是0，求出a的取值范圍a≥0；
（3）由于函數(shù)g（x）=x²[f′（x）+2x-2]=2x³+ax-2（x＞0），則要利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)g（x）=2x³+ax-2在（0，+∞）上的最小值，讓最小值為-6，得到a的值，即可得f（x）的解析式．
點評：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．