Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為 （其中α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ．
（1）若A，B為曲線(xiàn)C1 ， C2的公共點(diǎn)，求直線(xiàn)AB的斜率；
（2）若A，B分別為曲線(xiàn)C1 ， C2上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|AB|取最大值時(shí)，求△AOB的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：消去參數(shù)α得曲線(xiàn)C1的普通方程C1：x2+y2﹣2x=0．…（1）

將曲線(xiàn)C2：ρ=4sinθ化為直角坐標(biāo)方程得x2+y2﹣4y=0．…（2）

由（1）﹣（2）得4y﹣2x=0，即為直線(xiàn)AB的方程，故直線(xiàn)AB的斜率為 ；

（2）解：由C1：（x﹣1）2+y2=1知曲線(xiàn)C1是以C1（1，0）為圓心，半徑為1的圓，

由C2：x2+（y﹣2）2=4知曲線(xiàn)C2：是以C2（0，2）為圓心，半徑為2的圓．

∵|AB|≤|AC1|+|C1C2|+|BC2|，

∴當(dāng)|AB|取最大值時(shí)，圓心C1，C2在直線(xiàn)AB上，

∴直線(xiàn)AB（即直線(xiàn)C1C2）的方程為：2x+y=2．

∵O到直線(xiàn)AB的距離為 ，

又此時(shí)|AB|=|C1C2|+1+2=3+ ，

∴△AOB的面積為

【解析】（1）消去參數(shù)α得曲線(xiàn)C1的普通方程，將曲線(xiàn)C2化為直角坐標(biāo)方程，兩式作差得直線(xiàn)AB的方程，則直線(xiàn)AB的斜率可求；（2）由C1方程可知曲線(xiàn)是以C1（1，0）為圓心，半徑為1的圓，由C2方程可知曲線(xiàn)是以C2（0，2）為圓心，半徑為2的圓，又|AB|≤|AC1|+|C1C2|+|BC2|，可知當(dāng)|AB|取最大值時(shí)，圓心C1 ， C2在直線(xiàn)AB上，進(jìn)一步求出直線(xiàn)AB（即直線(xiàn)C1C2）的方程，再求出O到直線(xiàn)AB的距離，則△AOB的面積可求．