Question

11．已知x和y滿足約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{x+y≥4}\\{x+4≥y}\\{x≤4}\end{array}}\right.$，則目標(biāo)函數(shù)z=x²+y²-2y的最小值為$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域
z=x²+y²-2y=x²+（y-1）²-1，
設(shè)m=x²+（y-1）²，則m的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到定點D（0，1）的距離的平方，
由圖象知D到直線AB：x+y-4=0的距離最小，
則d=$\frac{|1-4|}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$，
則m=d²=（$\frac{3}{\sqrt{2}}$）²=$\frac{9}{2}$，
此時z的最小值為z=m-1=$\frac{9}{2}$-1=$\frac{7}{2}$，
故答案為：$\frac{7}{2}$．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用點到直線的距離公式轉(zhuǎn)化為距離問題是解決本題的關(guān)鍵．注意使用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．