Question

1．如圖，在面積為4的平行四邊形ABCD中，點P為直線AD上的動點，則$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}+{\overrightarrow{BC}^2}$的最小值為4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 取BC的中點Q，連接PQ．則$\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PQ}$，$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=$\frac{1}{4}[（\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PB}）^{2}-（\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PB}）^{2}]$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：取BC的中點Q，連接PQ．
則$\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PQ}$，$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=$\frac{1}{4}[（\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PB}）^{2}-（\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PB}）^{2}]$，
∴$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{BC}$²=$\frac{1}{4}[（\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PB}）^{2}-（\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PB}）^{2}]$+${\overrightarrow{BC}}^{2}$=${\overrightarrow{PQ}}^{2}+\frac{3}{4}{\overrightarrow{BC}}^{2}$≥$2\sqrt{\frac{3}{4}{\overrightarrow{PQ}}^{2}•{\overrightarrow{BC}}^{2}}$=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{PQ}$||$\overrightarrow{BC}$|≥$\sqrt{3}$S_ABCD=4$\sqrt{3}$，
此時$\overrightarrow{PQ}⊥\overrightarrow{BC}$，且$|\overrightarrow{PQ}|=\frac{\sqrt{3}}{2}|\overrightarrow{BC}|$．
故答案為：4$\sqrt{3}$

點評 本題考查了向量的平行四邊形法則、數(shù)量積運算性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了變形能力與計算能力，屬于中檔題．