Question

9．已知函數(shù)f（x）=（2-x）e^x-ax-a，若不等式f（x）＞0恰好存在兩個正整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是$[-\frac{e^3}{4}，0）$．

Answer 1

分析 利用構造的新函數(shù)g（x）和h（x），求導數(shù)g′（x），從而可得a的范圍．

解答 解：令g（x）=（2-x）e^x，h（x）=ax+a，
由題意知，存在2個正整數(shù)，使g（x）在直線h（x）的上方，
∵g′（x）=（1-x）e^x，
∴當x＞1時，g′（x）＜0，當x＜1時，g′（x）＞0，
∴g（x）_max=g（1）=e，
且g（0）=2，g（2）=0，g（3）=-e³，
直線h（x）恒過點（-1，0），且斜率為a，∴
由題意可知，$\left\{\begin{array}{l}{h（1）＜e}\\{h（2）＜0}\\{h（3）≤-{e}^{3}}\end{array}\right.$，
故實數(shù)a的取值范圍是$[-\frac{e^3}{4}，0）$．
故答案為$[-\frac{e^3}{4}，0）$．

點評 本題考查導數(shù)的綜合應用，及數(shù)形結合思想的應用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．