【題目】已知橢圓的離心率為.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設(shè)直線過點(diǎn)且與橢圓相交于兩點(diǎn).過點(diǎn)作直線的垂線,垂足為.證明直線軸上的定點(diǎn).

【答案】1;(2)見解析.

【解析】

(1)由離心率列方程可求得橢圓方程;

(2)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),直線BD過點(diǎn)(20).當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線ABy=kx-1),聯(lián)立方程組,消去y整理得:(1+3k2x2-6k2x+3k2-3=0.利用韋達(dá)定理、直線方程,結(jié)合已知條件求出直線BDx軸上的定點(diǎn).

(1)解:由題意可得,解得,

所以橢圓C的方程為

(2)直線BD恒過x軸上的定點(diǎn)N2,0).證明如下

a)當(dāng)直線l斜率不存在時(shí),直線l的方程為x=1,

不妨設(shè)A1),B1,),D3,).

此時(shí),直線BD的方程為:y=x-2),所以直線BD過點(diǎn)(2,0).

b)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)Ax1,y1),Bx2,y2),直線ABy=kx-1),D3,y1).

得:(1+3k2x2-6k2x+3k2-3=0

所以x1+x2=,x1x2=.……(*

直線BDy-y1=x-3),只需證明直線BD過點(diǎn)(2,0)即可.

y=0,得x-3=,所以x===

即證,即證.

將(*)代入可得.

所以直線BD過點(diǎn)(2,0

綜上所述,直線BD恒過x軸上的定點(diǎn)(2,0).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】如圖是函數(shù)的部分圖象,將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到g(x)的圖象,給出下列四個(gè)命題:

①函數(shù)f(x)的表達(dá)式為

②g(x)的一條對(duì)稱軸的方程可以為;

③對(duì)于實(shí)數(shù)m,恒有

④f(x)+g(x)的最大值為2.其中正確的個(gè)數(shù)有( 。

A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)

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1)求的解析式,并判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù);

2)若,且對(duì)任意的恒成立,求k的最大值.(參考數(shù)據(jù):,

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【題目】已知函數(shù)fx=ax2+a-2lnx+1aR).

1)若函數(shù)在點(diǎn)(1,f1))處的切線平行于直線y=4x+3,求a的值;

2)令cx=fx+3-alnx+2a,討論cx)的單調(diào)性;

3a=1時(shí),函數(shù)y=fx)圖象上的所有點(diǎn)都落在區(qū)域內(nèi),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)O(0,0),M(-4,0),N(4,0),P(0,-2),Q(0,2),H(4,2).線段OM上的動(dòng)點(diǎn)A滿足;線段HN上的動(dòng)點(diǎn)B滿足.直線PA與直線QB交于點(diǎn)L,設(shè)直線PA的斜率記為k,直線QB的斜率記為k',則kk'的值為______;當(dāng)λ變化時(shí),動(dòng)點(diǎn)L一定在______(填“圓、橢圓、雙曲線、拋物線”之中的一個(gè))上.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,底面為矩形,平面平面,,,,中點(diǎn).

(Ⅰ)求證:∥平面;

(Ⅱ)求二面角的余弦值;

(Ⅲ)在棱上是否存在點(diǎn),使得?若存在,求的值;若不存在,說明理由.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,如果都是整數(shù),就稱點(diǎn)為整點(diǎn),下列命題中正確的是_____________(寫出所有正確命題的編號(hào))

①存在這樣的直線,既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn)

②如果都是無理數(shù),則直線不經(jīng)過任何整點(diǎn)

③直線經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)經(jīng)過兩個(gè)不同的整點(diǎn)

④直線經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是:都是有理數(shù)

⑤存在恰經(jīng)過一個(gè)整點(diǎn)的直線

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1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)求直線的方程.

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