Question

如圖①，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BA=BC=2，∠ABC=90°，異面直線A₁B與AC成60°的角，點(diǎn)O、E分別是棱AC和BB₁的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱B₁C₁上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）求異面直線A₁E與OF所角的大小；
（Ⅱ）求二面角B₁-A₁C-C₁的大小；
（Ⅲ）設(shè)O₁為A₁C₁的中點(diǎn)，如圖②，將此直三棱柱ABC-A₁B₁C₁繞直線O₁O旋轉(zhuǎn)一周，線段BC₁旋轉(zhuǎn)后所得圖形所得必定是________．（只需填上你認(rèn)為正確的選項(xiàng)，不必證明）

Answer 1

D
分析：（I）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BA，BC，BB₁所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出棱錐的高，根據(jù)異面直線A₁B與AC成60°的角，寫出兩條異面直線的夾角，求出高，再求出異面直線所成的角．
（II）根據(jù)建立的坐標(biāo)系，看出平面的一個(gè)法向量，設(shè)出另一個(gè)平面的法向量，根據(jù)法向量與平面上的向量數(shù)量積等于0，求出一個(gè)法向量，根據(jù)兩個(gè)向量的夾角做出二面角的值．
（III）將此直三棱柱補(bǔ)形為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，如圖2．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段BC₁任意一點(diǎn)到軸OO₁的距離保持不變，設(shè)BC₁的中點(diǎn)為M，OO₁的中點(diǎn)為O₂，則O₂M是異面直線OO₁與BC₁的公垂線段，建立空間直角坐標(biāo)系，不失一般性，設(shè)點(diǎn)N在線段MC₁上，并設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2，MN=t，PN=d．做出結(jié)果
解答：如圖1，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BA，BC，BB₁所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），C（0，2，0），0（1，1，0）

（Ⅰ）設(shè)棱錐的高為h，則A₁（2，0，h），C（0，2，0），．
∴cos＜，
即cos60°=，解得h=2．
∴E（0，0，1），A₁（202），．
∵F為棱B₁C₁上的動(dòng)點(diǎn)，故可設(shè)f（0，y，2）．
∴．
又
∴，即異面直線A₁E與OF成角為90°
（Ⅱ）易知平面A₁CC₁的一個(gè)法向量為=（1，1，0），設(shè)平面A₁B₁C的一個(gè)法向量為=（x，y，1），則=（x，y，1）•（-2，2，-2）=-2x+2y-2=0，…①=（x，y，1）•（-2，0，0）=-2x=0．…②
由①、②，得．
∴cos＜＞=，
∴＜＞=60°．
即二面角B₁-A₁C-C₁的大小為60°．
（Ⅲ）將此直三棱柱補(bǔ)形為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，如圖2．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段BC₁任意一點(diǎn)到軸OO₁的距離保持不變，
設(shè)BC₁的中點(diǎn)為M，OO₁的中點(diǎn)為O₂，則O₂M是異面直線OO₁與BC₁的公垂線段．
設(shè)N是線段BC₁上任意一點(diǎn)，N在軸OO₁上的射影為P．
以正方體的中心O₂，主點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不失一般性，設(shè)點(diǎn)N在線段MC₁上，并設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2，MN=t，PN=d．
∵＜＞=45°，
∴N．
在Rt△OPN中，由O₂P₂+PN₂=O₂N₂，得
d₂+，∴．
即d與t之間滿足雙曲線關(guān)系，故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用空間向量解決幾何體中的夾角和距離的問(wèn)題，本題解題的關(guān)鍵是建立合適的坐標(biāo)系，把邏輯性很強(qiáng)的理論推導(dǎo)轉(zhuǎn)化成數(shù)字的運(yùn)算，降低了題目的難度．