Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n和通項a_n滿足S_n=$\frac{1}{2}$（1-a_n）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），T_n=$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+$\frac{1}{_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$，求T_n的取值范圍．

Answer 1

分析 由S_n=$\frac{1}{2}$（1-a_n）知，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{2}$a_n-1，整理可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$，由S₁=a₁=$\frac{1}{2}$（1-a₁）⇒a₁=$\frac{1}{3}$，從而可知數(shù)列{a_n}是首項為$\frac{1}{3}$，公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，于是可求得數(shù)列{a_n}的通項

解答 解：（1）因為S_n=$\frac{1}{2}$（1-a_n），
所以，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$（1-a_n）-$\frac{1}{2}$（1-a_n-1）=-$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{2}$a_n-1，
化簡得2a_n=-a_n+a_n-1，整理可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$，由S₁=a₁=$\frac{1}{2}$（1-a₁）⇒a₁=$\frac{1}{3}$，從而可知數(shù)列{a_n}是首項為$\frac{1}{3}$，公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列．
所以a_n=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{3}$）^n-1=（$\frac{1}{3}$）ⁿ．
（2）函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）=1+2+3+4…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，T_n=$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+$\frac{1}{_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$=2（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$，所以T_n的取值范圍為[1，2）．

點評 本題考查數(shù)列遞推式的應用，得到數(shù)列為等比數(shù)列，進一步通過對數(shù)運算得到得到f（a_n），T_n是關(guān)鍵，考查等比關(guān)系的確定及其通項公式的應用，屬于中檔題