Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+3bx²+3cx有兩個極值點x₁，x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]，則（　　）

• A、-10≤f（x₁）≤-

  1

  2

• B、-

  1

  2

  ≤f（x₁）≤0
• C、0≤f（x₁）≤

  7

  2

• D、

  7

  2

  ≤f（x₁）≤10

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：f（x）得f′（x）=3x²+6bx+3c由題意知方程f′（x）=0有兩個根x₁，x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]則由根的分布得有2b-c-1≤0，c≤0，2b+c+1≤0且4b+c+4≥0，可得-2≤c≤0，用消元法消去參數(shù)b，利用參數(shù)c表示出f（x₁）的值域，再利用參數(shù)c的范圍求出f（x₁）的范圍即可．

解答： 解：f′（x）=3x²+6bx+3c，
由題意知方程f′（x）=0有兩個根x₁，x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]，
則有f′（-1）≥0，f′（0）≤0，f′（1）≤0，f′（2）≥0．
即滿足下列條件2b-c-1≤0，c≤0，2b+c+1≤0且4b+c+4≥0
故有圖中四邊形ABCD即是滿足這些條件的點（b，c）的區(qū)域．
所以-2≤c≤0
由題設(shè)知f'（x₁）=3x₁²+6bx₁+3c=0，
則bx₁=-

1

2

x₁²-

1

2

c，
故f（x₁）=-

1

2

x13+

3c

2

x1
由于x₁∈[-1，0]，c≤0，
故0≤f（x₁）≤

1

2

-

3c

2

因為-2≤c≤0，
所以0≤f（x₁）≤

7

2

．
故選：C．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉導(dǎo)數(shù)與實根分布問題的處理方法，有難度．