Question

6．若不等式4x³-3x²+$\frac{1}{4}$≥k對任意的x∈[0，2]都成立，則實數(shù)k的最大值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 2
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)，求導，根據(jù)導數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可求出k的范圍，問題得以解決．

解答 解：設f（x）=4x³-3x²+$\frac{1}{4}$，x∈[0，2]
則f′（x）=12x²-6x，
令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=$\frac{1}{2}$，
當f′（x）＞0時，即$\frac{1}{2}$＜x≤2，函數(shù)單調(diào)遞增，
當f′（x）≤0時，即0≤x≤$\frac{1}{2}$，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（$\frac{1}{2}$）=4×$\frac{1}{8}$-3×$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$=0，
∴k≤0，
故實數(shù)k的最大值為0，
故選：C．

點評 本題考查利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上最值的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．