Question

5．設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0，a²-b²=c²，c＞0）與y軸正半軸的交點(diǎn)為B，點(diǎn)P在橢圓上，則|BP|的最大值為（　�。�

• A． 2b
• B． $\frac{{a}^{2}}{c}$
• C． 2b或$\frac{^{2}}{c}$
• D． 2b或$\frac{{a}^{2}}{c}$

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓的方程得到B（0，b），P點(diǎn)在橢圓上，從而可設(shè)P（acosθ，bsinθ），根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式并配方可以得到$|BP|=\sqrt{-{c}^{2}（sinθ+\frac{^{2}}{{c}^{2}}）^{2}+{a}^{2}+^{2}+\frac{^{4}}{{c}^{2}}}$，可以看出要求|BP|的最大值，需討論b，c關(guān)系：b＞c時(shí)，sinθ=-1時(shí)，|BP|取到最大值；b≤c時(shí)，sinθ=$-\frac{^{2}}{{c}^{2}}$時(shí)，|BP|取到最大值，這樣求出這兩種情況下的最大值即可找出正確選項(xiàng)．

解答 解：根據(jù)條件知，B（0，b），設(shè)P（acosθ，bsinθ），則：
$|BP|=\sqrt{{a}^{2}co{s}^{2}θ+^{2}（sinθ-1）^{2}}$
=$\sqrt{{a}^{2}co{s}^{2}θ+^{2}si{n}^{2}θ-2^{2}sinθ+^{2}}$
=$\sqrt{-{c}^{2}si{n}^{2}θ-2^{2}sinθ+{a}^{2}+^{2}}$
=$\sqrt{-{c}^{2}（sinθ+\frac{^{2}}{{c}^{2}}）^{2}+{a}^{2}+^{2}+\frac{^{4}}{{c}^{2}}}$
∴①若b＞c，則$\frac{^{2}}{{c}^{2}}＞1$；
∴sinθ=-1時(shí)，|BP|取最大值$\sqrt{-{c}^{2}（-1+\frac{^{2}}{{c}^{2}}）^{2}+{a}^{2}+^{2}+\frac{^{4}}{{c}^{2}}}$=$\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2b$；
②若b≤c，則$0＜\frac{^{2}}{{c}^{2}}≤1$；
∴sin$θ=-\frac{^{2}}{{c}^{2}}$時(shí)，|BP|取最大值$\sqrt{{a}^{2}+^{2}+\frac{^{4}}{{c}^{2}}}=\sqrt{\frac{{a}^{2}{c}^{2}+^{2}{c}^{2}+^{4}}{{c}^{2}}}$=$\frac{{a}^{2}}{c}$；
∴|BP|的最大值為2b或$\frac{{a}^{2}}{c}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓上點(diǎn)設(shè)成（acosθ，bsinθ）是本題求解的關(guān)鍵，這樣可將兩個(gè)變量x，y變成一個(gè)變量θ，便于求最值，以及兩點(diǎn)間距離公式，配方求二次式子的最值的方法．