Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax-1（a≠0）．
（1）求f（x）的單調區(qū)間與極值；
（2）若f（x）在x=-1處取得極值，方程f（x）=m有三個不等的實根，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求f（x）的導數(shù)，令導數(shù)等于零，根據導數(shù)的符號與函數(shù)單調性的關系即可求出f（x）的單調區(qū)間與極值；
（2）f（x）在x=-1處取得極值，可以f（x）的解析式與極值；結合圖象求出方程f（x）=m有三個不等的實根時m的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=x³-3ax-1（a≠0），∴f′（x）=3x²-3a=3（x²-a）；
當a≤0時，f′（x）≥0，f（x）是R上的增函數(shù)，無極值；
當a＞0時，f′（x）=3（x+

a

）（x-

a

）；∴當x＜-

a

時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，
當-

a

＜x＜

a

時，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，當x＞

a

時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，
∴當x=-

a

時，f（x）有極大值2a

a

-1；當x=

a

時，f（x）有極小值-2a

a

-1；
（2）∵f（x）的導數(shù)是f′（x）=3x²-3a=3（x²-a），且f（x）在x=-1處取得極值，
∴3[（-1）²-a]=0，∴a=1；∴f′（x）=3（x+1）（x-1）；
由（1）知，當x=-1時，f（x）有極大值1；當x=1時，f（x）有極小值-3；如圖，
方程f（x）=m有三個不等的實根時，-3＜m＜1；
∴m的取值范圍是{m|-3＜m＜1}．

點評：本題考查了利用函數(shù)的導數(shù)來判定函數(shù)的單調性與求極值的問題，是中檔題．