Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

且與拋物線y²=4x有公共焦點(diǎn)F₂．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，直線F₂M與F₂N傾斜角互補(bǔ)．證明：直線l過定點(diǎn)，并求該點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件得

c a = 2 2 c=1

，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）由題意知直線MN存在斜率，其方程為y=kx+m，聯(lián)立方程

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得

(2k2+1)x2+4kmx+m2-2=0，

設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），由直線F₂M與F₂N的傾斜角互補(bǔ)，得2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0，由此利用韋達(dá)定理推導(dǎo)出直線MN過點(diǎn)（2，0）．

解答： （Ⅰ）解：∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，
且與拋物線y²=4x有公共焦點(diǎn)F₂，
∴

c a = 2 2 c=1

，解得a²=2，c²=1，∴b²=2-1=1，
∴橢圓方程為：

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）證明：由題意知直線MN存在斜率，其方程為y=kx+m，
聯(lián)立方程

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，消去y，得

(2k2+1)x2+4kmx+m2-2=0，△=(4km)2-4(2k2+1)(2m2-2)＞0

∴2k²-m²+1＞0，
設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
則x1+x2=-

4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

，
由已知直線F₂M與F₂N的傾斜角互補(bǔ)，
得kf2m+kf2N=0，即

kx1+m

x1-1

+

kx2+m

x2-1

=0，
化簡，得2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0，
∴2k•

2m2-2

2k2+1

-(m-k)•

4km

2k2+1

-2m=0，
解得m=-2k，代入直線y=kx+m，得直線MN過點(diǎn)（2，0）．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線過定點(diǎn)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意兩直線傾斜角互補(bǔ)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．