Question

8．（ I）若直線l：（a+1）x+y+2-a=0（a∈R）的橫截距是縱截距的2倍，求直線l的方程；
（ II）過點P（0，3）作直線l與圓C：x²+y²-2x-4y-6=0交于A，B兩點，且OA⊥OB（O為坐標原點），求直線l的方程．

Answer 1

分析 （ I）依題意，直線l的橫、縱截距均存在，結(jié)合橫截距是縱截距的2倍，求出a值，可得直線l的方程；
（ II）依題意，直線的斜率必存在，故可設(shè)直線l：y=kx+3，聯(lián)立直線與圓C：x²+y²-2x-4y-6=0方程，由OA⊥OB結(jié)合韋達定理，可得k值，進而得到直線l的方程．

解答 解：（ I）依題意，直線l的橫、縱截距均存在，
所以a≠-1，
∴令x=0，得直線l的縱截距y=a-2，
令y=0，得直線l的橫截距$x=\frac{a-2}{a+1}$…（2分）
①當a=2時，直線l的橫、縱截距均為0，滿足橫截距是縱截距的2倍，
此時，直線l過原點且方程為：3x+y=0…（3分）
②當a≠2時，直線l的橫、縱截距均不為0∴依題意有：$\frac{a-2}{a+1}=2（a-2）$，
解得$a=-\frac{1}{2}$…（4分）∴此時直線l的方程為：x+2y+5=0…（5分）∴綜上述，直線l的方程為：3x+y=0或x+2y+5=0…（6分）
（ II）依題意，直線的斜率必存在，故可設(shè)直線l：y=kx+3，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+3\\{x^2}+{y^2}-2x-4y-6=0\end{array}\right.$，
消y得：（1+k²）x²+2（k-1）x-9=0，
∴△=4（k-1）²+36（1+k²）＞0恒成立，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=-\frac{2（k-1）}{{1+{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{-9}{{1+{k^2}}}$…（8分）
∴${y_1}{y_2}=（k{x_1}+3）（k{x_2}+3）={k^2}{x_1}{x_2}+3k（{x_1}+{x_2}）+9$，
又OA⊥OB，即$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=（{k^2}+1）{x_1}{x_2}+3k（{x_1}+{x_2}）+9=-\frac{6k（k-1）}{{1+{k^2}}}=0$…（10分）
∴k=0或k=1…（11分）
∴直線l的方程為：y=3或x-y+3=0．…（12分）

點評 本題考查的知識點是直線的方程，直線與圓的位置關(guān)系，向量的數(shù)量積公式，難度中檔．