Question

如圖所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長(zhǎng)是2，側(cè)棱長(zhǎng)是

3

，D是AC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A₁-BD-A的大��；
（Ⅲ）求點(diǎn)A到平面A₁BD的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)AB₁與A₁B相交于點(diǎn)P，連接PD，則P為AB₁中點(diǎn)，由此能夠證明B₁C∥平面A₁BD．
（Ⅱ）法一：由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中D是AC的中點(diǎn)，知BD⊥AC，由平面AA₁C₁C⊥平面ABC，知BD⊥平面AA₁C₁C，故BD⊥A₁D，∠A₁DA為二面角A₁-BD-A的平面角，由此能求出二面角A₁-BD-A的大�。�
（Ⅱ）法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A₁-BD-A的大�。�
（Ⅲ）法一：由（Ⅱ）知BD⊥AC、BD⊥A₁D，設(shè)點(diǎn)A到平面A₁BD的距離為d，利用等積法能求出點(diǎn)A到平面A₁BD的距離．
（Ⅲ）法二：由（Ⅱ）得

DA

=（1，0，0），n=（-

3

，0，1），利用向量法能求出點(diǎn)A到平面A₁BD的距離．

解答：解：（Ⅰ）證明：設(shè)AB₁與A₁B相交于點(diǎn)P，連接PD，
則P為AB₁中點(diǎn)，
∵D為AC中點(diǎn)，
∴PD∥B₁C．
又∵PD?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD．…（4分）
（Ⅱ）解法一：由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中D是AC的中點(diǎn)，
知BD⊥AC，
又∵平面AA₁C₁C⊥平面ABC，
∴BD⊥平面AA₁C₁C，∴BD⊥A₁D，
故∠A₁DA為二面角A₁-BD-A的平面角，
又AD⊥A₁A，A1A=

3

，AD=1，
∴∠A₁DA=60°，即二面角A₁-BD-A的大小為60°．…（8分）
（Ⅱ）解法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），A（1，0，0），A₁（1，0，

3

），
B（0，

3

，0），B₁（0，

3

，

3

），
∴

A1B

=（-1，

3

，-

3

），

A1D

=（-1，0，-

3

），
設(shè)平面A₁BD的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n

•

A1B

=-x+

3

y-

3

z=0，

n

•

A1D

=-x-

3

z=0
則有

x=- 3 z y=0

，令z=1，得

n

=（-

3

，0，1）
由題意，知

AA1

=（0，0，

3

）是平面ABD的一個(gè)法向量．
設(shè)

n

與

AA1

所成角為θ，
則cosθ=

n• AA1

|n|•| AA1 |

=

1

2

，∴θ=

π

3

，
∴二面角A₁-BD-A的大小是

π

3

…（8分）
（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知BD⊥AC、BD⊥A₁D，
設(shè)點(diǎn)A到平面A₁BD的距離為d，
∴VA1-ABD=

1

3

S△ABD•A1A=VA-A1BD=

1

3

S△A1BD•d，
故

1

3

S△ABD•A1A=

1

3

×

1

2

×1×

3

×

3

=

1

3

S△A1BD•d=

1

3

×

1

2

×

3

×

12+( 3 )2

×d
解得：d=

3

2

，
即點(diǎn)A到平面A₁BD的距離為d=

3

2

．…（12分）
（Ⅲ）解法二：由（Ⅱ）已知，
得

DA

=（1，0，0），

n

=（-

3

，0，1）
則d=

| DA •n|

|n|

=

3

2

即點(diǎn)A到平面A₁BD的距離為d=

3

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行、二面角、點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．