Question

某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案，甲方案：一次性貸款10萬(wàn)元，第一年便可獲利1萬(wàn)元，以后每年比前一年增加30%的利潤(rùn)；乙方案：每年貸款1萬(wàn)元，第一年可獲利1萬(wàn)元，以后每年比前一年增加5千元；兩種方案的使用期都是10年，到期一次性歸還本息．若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的復(fù)利計(jì)算，試比較兩種方案中，哪種獲利更多？（取1.05¹⁰=1.629，1.3¹⁰=13.786，1.5¹⁰=57.665）

Answer 1

【答案】分析：甲方案是等比數(shù)列，甲方案獲利：1+（1+30%）+（1+30%）²+…+（1+30%）⁹=（萬(wàn)元），銀行貸款本息：10（1+5%）¹⁰≈16.29（萬(wàn)元）．乙方案是等差數(shù)列，乙方案獲利：1+（1+0.5）=（1+2×0.5）+…+（1+9×0.5）=10×1+=32.50（萬(wàn)元）；銀行本息和：1.05×[1+（1+5%）+（1+5%）²+…+（1+5%）⁹]=1.05×≈13.21（萬(wàn)元）．由此能做出正確判斷．
解答：解：甲方案是等比數(shù)列，乙方案是等差數(shù)列，
①甲方案獲利：1+（1+30%）+（1+30%）²+…+（1+30%）⁹
=（萬(wàn)元），
銀行貸款本息：10（1+5%）¹⁰≈16.29（萬(wàn)元），
故甲方案純利：42.63-16.29=26.34（萬(wàn)元）．
②乙方案獲利：1+（1+0.5）=（1+2×0.5）+…+（1+9×0.5）
=10×1+
=32.50（萬(wàn)元）；
銀行本息和：1.05×[1+（1+5%）+（1+5%）²+…+（1+5%）⁹]
=1.05×
≈13.21（萬(wàn)元）
故乙方案純利：32.50-13.21=19.29（萬(wàn)元）．
綜上可知，甲方案更好．
點(diǎn)評(píng)：這是一道比較常見(jiàn)的數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題，由于本息與利潤(rùn)是熟悉的概念，因此只建立通項(xiàng)公式并運(yùn)用所學(xué)過(guò)的公式求解．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是知識(shí)體系不牢固．