Question

如果一個(gè)函數(shù)f（x）的圖象既關(guān)于y軸對(duì)稱，又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么稱這個(gè)函數(shù)f（x）為“友好函數(shù)”．在下列幾個(gè)函數(shù)中，
①函數(shù)f（x）=0；
②函數(shù)f（x）=x⁰；
③函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）成立；
④函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意x，y∈R，都有f（x•y）=f（x）+f（y）成立；
⑤函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意x∈R，都有f（-|x|）=-f（x）成立；
其中屬于“友好函數(shù)”的是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題根據(jù)新定義“友好函數(shù)”，研究選項(xiàng)中的函數(shù)①②是否符合條件，選項(xiàng)③④⑤，要通過(guò)特殊值代入法，先研究函數(shù)的解析式，再加以判斷，

解答： 解：函數(shù)f（x）的圖象既關(guān)于y軸對(duì)稱，又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)即為奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于0對(duì)稱，
且f（-x）=-f（x），f（-x）=f（x），
∴-f（x）=f（x），
即f（x）=0．
則①f（x）=0，指出了函數(shù)的解析式，未指出函數(shù)定義域，故①不符合條件；
②f（x）=x⁰=1，（x≠0）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，②不符合條件；
③不妨取f（x）=2^x，滿足f（x+y）=f（x）•f（y），但函數(shù)f（x）的圖象既不關(guān)于y軸對(duì)稱，又不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，③不符合條件；
④函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意x，y∈R，都有f（x•y）=f（x）+f（y）成立
令x=y=0，得f（0）=2f（0）則f（0）=0，
令y=0，得f（0）=f（x）+f（0），則f（x）=0，
∴函數(shù)f（x）=0，函數(shù)f（x）的圖象既關(guān)于y軸對(duì)稱，又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，④符合條件；
⑤函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意x∈R，都有f（-|x|）=-f（x）成立，
令x=0，得f（0）=-f（0）則f（0）=0，
當(dāng)x＜0時(shí)，有：f（x）=-f（x），f（x）=0，
當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，有：f（-x）=-f（x），即f（x）=-f（-x）=0，
∴函數(shù)f（x）=0，函數(shù)f（x）的圖象既關(guān)于y軸對(duì)稱，又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，⑤符合條件．
故答案為：④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、抽象函數(shù)的研究，本題計(jì)算量大，思維質(zhì)量高，屬于難題．