Question

香港違法“占中”行動(dòng)對(duì)香港的經(jīng)濟(jì)、政治、社會(huì)及民生造成重大損失，據(jù)香港科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)系教授雷鼎鳴測(cè)算，僅香港的“占中”行動(dòng)開始后一個(gè)多月的時(shí)間，保守估計(jì)造成經(jīng)濟(jì)損失3500億港元，相等于平均每名港人承受了5萬港元的損失，為了挽回經(jīng)濟(jì)損失，某廠家擬在新年舉行大型的促銷活動(dòng)，經(jīng)測(cè)算某產(chǎn)品當(dāng)促銷費(fèi)用為x萬元時(shí)，銷售量t萬件滿足t=5-

2

x+1

（其中0≤x≤a²-3a+3，a為正常數(shù)）．現(xiàn)假定生產(chǎn)量與銷售量相等，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品t萬件還需投入成本（10+2t）萬元（不含促銷費(fèi)用），產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為（4+

20

t

）萬元/萬件．
（1）將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費(fèi)用x萬元的函數(shù)；
（2）促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤最大．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）確定該產(chǎn)品售價(jià)為2×（

10+2t

t

）萬元，y=2×（

10+2t

t

）×t-10-2t-x，銷售量t萬件滿足t=5-

2

x+1

代入化簡(jiǎn)得該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費(fèi)用x萬元的函數(shù)；
（2）分類討論，利用基本不等式及函數(shù)的單調(diào)性，可求廠家的利潤最大．

解答： 解：（1）由題意知，該產(chǎn)品售價(jià)為2×（

10+2t

t

）萬元，
y=2×（

10+2t

t

）×t-10-2t-x，
銷售量t萬件滿足t=5-

2

x+1

代入化簡(jiǎn)得y=20-（

4

x+1

+x），（0≤x≤a²-3a+3）

（2）y=21-（

4

x+1

+x+1）≤21-2

4 x+1 ×(x+1)

=17
當(dāng)且僅當(dāng)

4

x+1

=x+1即x=1時(shí)，上式取等號(hào) 
當(dāng)1≤a²-3a+3，即a≥2或0＜a≤1時(shí)，促銷費(fèi)用投入1萬元時(shí)，廠家的利潤最大； 
當(dāng)a²-3a+3＜1，即1＜a＜2時(shí)，y=

-(x-1)(x+3)

(x+1)2

＞0，
故y=21-（

4

x+1

+x+1）在0≤x≤a²-3a+3上單調(diào)遞增，
所以在0≤x≤a²-3a+3時(shí)，函數(shù)有最大值．促銷費(fèi)用投入x=a²-3a+3萬元時(shí)，廠家的利潤最大  
綜上述，當(dāng)a≥2或0＜a≤1時(shí)，促銷費(fèi)用投入1萬元時(shí)，廠家的利潤最大；
當(dāng)1＜a＜2時(shí)，促銷費(fèi)用投入x=a²-3a+3萬元時(shí)，廠家的利潤最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查基本不等式的運(yùn)用，確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．