Question

橢圓和雙曲線的中心在原點，對稱軸為坐標軸，它們有相同的焦點（-5，0），（5，0），且它們的離心率都可以使方程2x²+4（2e-1）x+4e²-1=0有相等的實根，求橢圓和雙曲線的方程．

Answer 1

考點：雙曲線的標準方程,橢圓的標準方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：利用二次方程有兩個相等的實根，令其判別式為0，求出兩個根，據焦點坐標求出橢圓和雙曲線方程．

解答： 解：由題意得△=16（2e-1）²-4×2×（4e²-1）=0，即4e²-8e+3=0，解得e=

3

2

或e=

1

2

．
當e=

1

2

時，曲線為橢圓，c=5，e=

c

a

=

1

2

，則a=2c=10，b²=a²-c²=100-25=75，
所以橢圓的方程為

x2

100

+

y2

75

=1．
當e=

3

2

時，曲線為雙曲線，c=5，e=

c

a

=

3

2

，
則a=

2

3

c=

10

3

，b²=c²-a²=25-

100

9

=

125

9

，所以雙曲線的方程為

9x2

100

-

9y2

125

=1．

點評：解決橢圓與雙曲線問題要注意橢圓的離心率的范圍為（0，1）；雙曲線離心率的范圍為（1，+∞）．