Question

3．已知橢圓的長半軸為6，焦點在x軸上，離心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求以橢圓內(nèi)一點M（4，2）為中點的弦所在的直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出橢圓的幾何量，求出橢圓的方程即可．
（2）設(shè)弦兩端點的坐標為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由M（4，2）是弦AB的中點可得x₁+x₂=8，y₁+y₂=4，由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用平方差法求出直線的斜率，然后求解直線方程．

解答 解：（1）依題意$a=6，e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，故$c=3\sqrt{3}$，所以b²=a²-c²=36-27=9
故該橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$
（2）設(shè)弦兩端點的坐標為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由M（4，2）是弦AB的中點可得x₁+x₂=8，y₁+y₂=4，由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在橢圓上可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{x_1}^2}}{36}+\frac{{{y_1}^2}}{9}=1（1）\\ \frac{{{x_2}^2}}{36}+\frac{y^2}{9}=1（2）\end{array}\right.$（1）-（2）式得：$\frac{{8（{x_1}-{x_2}）}}{36}=-\frac{{4（{y_1}-{y_2}）}}{9}$，
故$k=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{1}{2}$，所以l：$y-2=-\frac{1}{2}（x-4）$，
即x+2y-8=0．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線方程、橢圓方程的求法，平方差法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．