Question

在△ABC中，滿足tan

A-B

2

=

a-b

a+b

．
（1）試判斷△ABC的形狀；
（2）當(dāng)a=10，c=10時(shí)，求tan

A

2

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題設(shè)，可推斷當(dāng)a=b和a≠b兩種情況．當(dāng)a=b可推斷△ABC為等腰三角形；當(dāng)a≠b時(shí)通過正弦定理及題設(shè)，求得cot

A+B

2

的值，進(jìn)而求出A+B進(jìn)而推斷△ABC的形狀．
（2）根據(jù)a=c排除△ABC為直角三角形的情況，根據(jù)（1）可知a=b，進(jìn)而推斷△ABC為等邊三角形，進(jìn)而求出∠A和tan

A

2

的值．

解答：解：（1）∵tan

A-B

2

=

a-b

a+b

當(dāng)a=b時(shí)，△ABC為等腰三角形
當(dāng)a≠b時(shí)，根據(jù)正弦定理

a-b

a+b

=

sinA-sinB

sinA+sinB

=

2cos( A+B 2 )sin( A-B 2 )

2sin( A+B 2 )cos( A-B 2 )

=tan

A-B

2

∴cot

A+B

2

=1，即

A+B

2

=

π

4

，A+B=

π

2

∴△ABC為以C為直角的直角三角形．
∴△ABC為直角三角形或等腰三角形
（2）a=c=10，排除△ABC為直角三角形，則△ABC為等腰三角形，即a=b，
又a=c=10，所以a=c=b
∠A=60°
故tan

A

2

=tan30°=

3

3

點(diǎn)評：本題主要考查和差化積和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用．屬基礎(chǔ)題．