Question

過(guò)點(diǎn)P（2，1）的直線l與x軸、y軸正方向交于點(diǎn)A、B，分別根據(jù)以下條件求直線l的方程：
（1）直線l與x軸、y軸圍成等腰三角形；
（2）點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)；
（3）S_△AOB=6（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（4）|OA|+|OB|最�。∣為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求直線方程

專題：直線與圓

分析：設(shè)A（a，0），B（0，b）．
（1）由直線l與x軸、y軸圍成等腰三角形，則a=b，設(shè)直線l的方程為x+y=a，代入P點(diǎn)坐標(biāo)求得a的值，則直線l的方程可求；
（2）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式列式求得a，b的值代入直線方程的截距式得答案；
（3）設(shè)直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，由

2 a + 1 b =1 1 2 ab=6

解得a，b的值，則直線方程可求；
（4）由

2

a

+

1

b

=1，a＞0，b＞0，得a+b=（a+b）（

2

a

+

1

b

）展開(kāi)后利用基本不等式求最值，并得到使a+b最小時(shí)的a，b的值，則直線l的方程可求．

解答： 解：如圖，

設(shè)A（a，0），B（0，b），
（1）直線l與x軸、y軸圍成等腰三角形，則a=b，設(shè)直線l的方程為x+y=a，
則2+1=a，a=3，
∴直線l的方程為x+y-3=0；
（2）點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，則

a+0 2 =2 b+0 2 =1

，解得a=4，b=2．
∴直線l的方程為

x

4

+

y

2

=1，即x+2y-4=0；
（3）設(shè)直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，
則

2 a + 1 b =1 1 2 ab=6

，解得

a=6+2 3 b=3- 3

或

a=6-2 3 b=3+ 3

．
∴直線l的方程為

x

6+2 3

+

y

3- 3

=1或

x

6-2 3

+

y

3+ 3

=1；
（4）由

2

a

+

1

b

=1，a＞0，b＞0，
∴a+b=（a+b）（

2

a

+

1

b

）=3+

2b

a

+

a

b

≥3+2

2b a • a b

=3+2

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)

2b

a

=

a

b

，即a=

2

b，也就是a=2+

2

，b=

2

+1時(shí)上式等號(hào)成立．
此時(shí)直線l的方程為

x

2+ 2

+

y

2 +1

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求直線的方程，考查了直線方程的截距式，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．