Question

18．已知?x∈（0，+∞），[（m-1）x-1]（x²-mx-1）≥0恒成立，則m的值為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 對m≤1和m＞1分類，若m≤1，由x＞0，可得（m-1）x-1＜0，而y=x²-mx-1的圖象開口向上，可知[（m-1）x-1]（x²-mx-1）≥0不恒成立，因此m＞1，由（m-1）x-1=0，解得x=$\frac{1}{m-1}$＞0，而方程x²-mx-1=0的兩個實數(shù)根異號，x=$\frac{1}{m-1}$必定是方程x²-mx-1=0的一個正根，把x=$\frac{1}{m-1}$代入方程x²-mx-1=0，求解可得m的值．

解答 解：若m≤1，∵x＞0，∴（m-1）x-1＜0，
又y=x²-mx-1的圖象開口向上，
∴[（m-1）x-1]（x²-mx-1）≥0不恒成立，
因此m＞1，如圖：
由（m-1）x-1=0，解得x=$\frac{1}{m-1}$＞0，而方程x²-mx-1的兩個實數(shù)根異號，
要使?x∈（0，+∞），[（m-1）x-1]（x²-mx-1）≥0恒成立，
∴x=$\frac{1}{m-1}$必定是方程x²-mx-1的一個正根，
把x=$\frac{1}{m-1}$代入方程x²-mx-1可得：$（\frac{1}{m-1}）^{2}-\frac{m}{m-1}-1=0$，
又m＞1，解得m=$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查恒成立問題，考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、一元二次方程的解與函數(shù)的零點，關鍵是掌握等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計算能力，將條件轉(zhuǎn)化為方程（m-1）x-1=0與x²-mx-1=0在（0，+∞）上有相同零點是解決本題的關鍵，綜合性強，難度較大．