Question

8．經(jīng)過(guò)P（0，1）的直線l與兩直線l₁：x-3y+10=0和l₂：2x+y-8=0分別交于P₁、P₂且滿足$\overrightarrow{{P_1}P}=2\overrightarrow{P{P_2}}$，則直線l的方程為y=1．

Answer 1

分析 先討論可得當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不滿足條件，設(shè)出直線的斜截式方程，結(jié)合$\overrightarrow{{P_1}P}=2\overrightarrow{P{P_2}}$，求出直線的斜率，可得直線的方程．

解答 解：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=0，
此時(shí)直線l與兩直線l₁：x-3y+10=0和l₂：2x+y-8=0的交點(diǎn)P₁、P₂的坐標(biāo)分別為（0，$\frac{10}{3}$）（0，8），
不滿足$\overrightarrow{{P_1}P}=2\overrightarrow{P{P_2}}$，
故直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，
則直線l的方程為：y=kx+1，
則直線l與兩直線l₁：x-3y+10=0和l₂：2x+y-8=0的交點(diǎn)P₁、P₂的橫坐標(biāo)分別為$\frac{7}{3k-1}$，$\frac{7}{k+2}$，
∵$\overrightarrow{{P_1}P}=2\overrightarrow{P{P_2}}$，
∴0-$\frac{7}{3k-1}$=2（$\frac{7}{k+2}$-0），
解得：k=0，
故直線l的方程為：y=1；
故答案為：y=1

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線的方程，直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，分類討論思想，難度中檔．