Question

已知向量

a

=（2sinx，cosx+sinx），

b

=（

3

cosx，sinx-cosx），定義f（x）=

a

•

b

．
（1）求函數(shù)f（x）的周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時的x的取值集合；
（3）若函數(shù)y=2sin2x-1的圖象向右平移m個單位（|m|＜

π

2

），向上平移n個單位后得到函數(shù)y=f（x）的圖象，求實數(shù)m、n的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由題意先求解析式f（x）=2sin（2x-

π

6

），從而可求函數(shù)f（x）的周期，單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）令2x-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的最大值是2，取得最大值時的x的取值集合為{x/x=kπ+

π

3

（k∈Z）}；
（3）根據(jù)題意有y=2sin（2x-2m）-1+n=2sin（2x-

π

6

），即可解得：m=

π

12

，n=1．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

•

b

=2sinx

3

cosx+sin²x-cos²x=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

），
∴T=

2π

2

=π，
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），可解得kπ-

π

2

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的周期是π，單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

π

2

，kπ+

π

3

]（k∈Z）；
（2）令2x-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：x=kπ+

π

3

（k∈Z）；
故函數(shù)f（x）的最大值是2，取得最大值時的x的取值集合為{x/x=kπ+

π

3

（k∈Z）}；
（3）若函數(shù)y=2sin2x-1的圖象向右平移m個單位（|m|＜

π

2

），得到的函數(shù)解析式為y=2sin（2x-2m）-1，向上平移n個單位后得到函數(shù)解析式為y=2sin（2x-2m）-1+n的圖象．
∴y=2sin（2x-2m）-1+n=2sin（2x-

π

6

）
∴可解得：m=

π

12

，n=1．

點評：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，屬于基本知識的考查．