Question

7．直線l₁：（3+m²）x-m²y+2m²+3=0（m≠0）．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求圓心在直線l₁上且過(guò)兩點(diǎn)A（-1，0），B（0，1）的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l₂過(guò)點(diǎn)P（m，$\frac{{m}^{2}-3}{m}$）且與直線l₁平行，證明：直線l₂與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．

Answer 1

分析 （1）m=1時(shí)，求出直線l₁的方程，再求出圓心C的坐標(biāo)與半徑r，寫(xiě)出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求出直線l₂的方程，再求l₂與直線x=0、直線y=x的交點(diǎn)M、N，計(jì)算△OMN的面積即可．

解答 解：（1）當(dāng)m=1時(shí)，直線l₁的方程為4x-y+5=0，
設(shè)圓心為C（x，4x+5），則半徑r=|AC|=|BC|，
即$\sqrt{{（x+1）}^{2}{+（4x+5）}^{2}}$=$\sqrt{{{x}^{2}+（4x+4）}^{2}}$，
解得x=-1，
所以y=1，r=1，
圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）²+（y-1）²=1；
（2）設(shè)直線l₂的方程為：（3+m²）x-m²y+k=0，
且過(guò)點(diǎn)P（m，$\frac{{m}^{2}-3}{m}$），
所以m（3+m²）-m²•$\frac{{m}^{2}-3}{m}$+k=0，
解得k=-6m，
所以直線l₂的方程為（3+m²）x-m²y-6m=0（m≠0）；
又直線l₂與直線x=0交于點(diǎn)M（0，-$\frac{6}{m}$），和直線y=x交于點(diǎn)N（2m，2m），
三直線所圍成的△OMN面積為S_△OMN=$\frac{1}{2}$|OM|×|x_N|=$\frac{1}{2}$×|-$\frac{6}{m}$|×|2m|=6，是定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了幾條直線所圍成的面積的計(jì)算問(wèn)題，是綜合性題目．