設f（x）=ax2+bx+c，若f（1）=
7
2
，問是否存在a、b、c∈R，使得不等式x2+
1
2
≤f（x）≤2x2+2x+
3
2
對一切實數(shù)x都成立，證明你的結(jié)論．
分析：先由已知條件求出f（x）的解析式，然后證明x2+
1
2
≤f（x）≤2x2+2x+
3
2
對一切實數(shù)x都成立即可．
解答：解：由f（1）=
7
2
，得a+b+c=
7
2
．令x2+
1
2
=2x2+2x+
3
2
?x=-1．
由f（x）≤2x2+2x+
3
2
推得f（-1）≤
3
2
，
由f（x）≥x2+
1
2
推得f（-1）≥
3
2
，
∴f（-1）=
3
2
．
∴a-b+c=
3
2
．故a+c=
5
2
且b=1．
∴f（x）=ax2+x+
5
2
-a．
依題意ax2+x+
5
2
-a≥x2+
1
2
對一切x∈R都成立，
∴a≠1且△=1-4（a-1）（2-a）≤0．
由a-1＞0得a=
3
2
．
∴f（x）=
3
2
x2+x+1．
證明如下：
3
2
x2+x+1-2x2-2x-
3
2
=-
1
2
x2-x-
1
2
=-
1
2
（x+1）2≤0．
∴
3
2
x2+x+1≤2x2+2x+
3
2
對x∈R都成立．
∴存在實數(shù)a=
3
2
，b=1，c=1，
使得不等式x2+
1
2
≤f（x）≤2x2+2x+
3
2
對一切x∈R都成立．
點評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，難度一般，關鍵是先求出f（x）的解析式再證明．
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13、設f（x）=ax2+bx+c（a≠0），對于任意-1≤x≤1，有f（x）|≤1；求證|f（2）|≤7．

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對于函數(shù)f（x），其定義域為D，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f（
x1+x2
2
）＞
1
2
[f（x1）+f（x2）]，則稱f（x）為定義域上的凸函數(shù)．
（1）設f（x）=ax2（a＞0），試判斷f（x）是否為其定義域上的凸函數(shù)，并說明原因；
（2）若函數(shù)f（x）=㏒ax（a＞0，且a≠1）為其定義域上的凸函數(shù)，試求出實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）=ax2+x-a，g（x）=2ax+5-3a
（1）若f（x）在x∈[0，1]上的最大值是
54
，求a的值；
（2）若對于任意x1∈[0，1]，總存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范圍；
（3）若f（x）=g（x）在x∈[0，1]上有解，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于給定正數(shù)k，定fk（x）=
f(x)   (f(x)≤k)
k    (f(x)＞k)
，設f（x）=ax2-2ax-a2+5a+2，對任意x∈R和任意a∈（-∞，0）恒有fk(x)=
f(x)
，則（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•閔行區(qū)二模）設f（x）=ax2+bx，且1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，則f（2）的最大值為
14
14
．

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