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將函數y=
-x2+2x+3
-
3
（x∈[0，2]）的圖象繞坐標原點逆時針旋轉θ（θ為銳角），若所得曲線仍是一個函數的圖象，則θ的最大值為
60°
60°
．
分析：根據二次函數的單調性，可得函數在[0，1]上為增函數，在[1，2]上為減函數．利用求導公式和導數的運算法則，可得函數的導數為f'（x）=
-x  +1
-x2+2x+3
，再設函數在 x=0 處，函數圖象的切線斜率為k，則k=f'（0）=
3
3
=tan30°，可得切線的傾斜角為 30°．因此，可得要使旋轉后的圖象仍為一個函數的圖象，最大旋轉角為 90°-30°=60°．
解答：解：設f（x）=
-x2+2x+3
-
3
，根據二次函數的單調性，可得函數在[0，1]上為增函數，在[1，2]上為減函數．
設函數在 x=0 處，切線斜率為k，則k=f'（0）
∵f'（x）=
1
2
•
(-x2 +2x)′
-x2+2x+3
=
-x  +1
-x2+2x+3
，
∴k=f'（0）=
3
3
=tan30°，可得切線的傾斜角為 30°，
因此，要使旋轉后的圖象仍為一個函數的圖象，
旋轉θ后的切線傾斜角最多為 90°，
也就是說，最大旋轉角為 90°-30°=60°，即θ的最大值為60°
故答案為：60°
點評：本題給出二次式作為被開方數的一個函數，將函數圖象繞原點逆時針旋轉θ后，所得曲線仍是一個函數的圖象，求角θ的最大值，著重考查了導數的幾何意義和函數的圖象與圖象變化等知識點，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

下列四個命題中
①不等式
x+1
(2x-1)≥0的解集為{x|x≥
1
2
}；
②“x＞1且y＞2”是“x+y＞3”的充分不必要條件；
③函數y=
x2+2
+
1
x2+2
的最小值為2；
④命題“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2+x+1＜0”
其中真命題的為
①②
①②
（將你認為是真命題的序號都填上）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）將函數y=
2x-1x+1
作適當的變形利用圖象的平移作出它的圖象，并寫出該函數的值域；
（2）將函數y=x2+2|x|+2寫成分段函數的形式，并在另一坐標系中作出他的圖象，然后寫出該函數的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•石家莊二模）將函數y=-x2+x（e∈[0，1]）的圖象繞點M（1，0）順時針旋轉θ角 （0＜θ＜
π
2
）得到曲線C，若曲線C仍是一個函數的圖象，則角θ的最大值為
π
4
π
4
．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（1）將函數數學公式作適當的變形利用圖象的平移作出它的圖象，并寫出該函數的值域；
（2）將函數y=x2+2|x|+2寫成分段函數的形式，并在另一坐標系中作出他的圖象，然后寫出該函數的值域．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年浙江省杭州市西湖高級中學高一（上）10月月考數學試卷（解析版） 題型：解答題

（1）將函數作適當的變形利用圖象的平移作出它的圖象，并寫出該函數的值域；
（2）將函數y=x2+2|x|+2寫成分段函數的形式，并在另一坐標系中作出他的圖象，然后寫出該函數的值域．

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