Question

設(shè)f（x）對(duì)任意的x，y有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0．
（1）求證f（x）是R上的減函數(shù)；
（2）若f（1）=-

2

3

，求f（x）在[2，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的最值及其幾何意義

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）采用賦值法，先將f（x+y）=f（x）+f（y）變形為f（x+y）-f（x）=f（y），再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義式f（x₂）-f（x₁）合理賦值，結(jié)合且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0判斷差的符號(hào)，解決問(wèn)題．
（2）結(jié)合單調(diào)性，f（2），f（3）分別是最大值、最小值，再利用f（x+y）=f（x）+f（y）結(jié)合f（1）的值求解．

解答： 解：（1）因?yàn)閒（x+y）=f（x）+f（y），所以f（x+y）-f（x）=f（y），
則任取x₁＜x₂，有f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
又因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，且x₂-x₁＞0，
所以f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0
所以f（x₂）＜f（x₁），所以函數(shù)f（x）是減函數(shù)．
（2）結(jié)合（1）可知，函數(shù)f（x）在[2，3]上是減函數(shù)，
結(jié)合f（x+y）=f（x）+f（y），
所以y_min=f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=3×(-

2

3

)=-2，
y_max=f（2）=f（1）+f（1）=2f（1）=2×(-

2

3

)=-

4

3

．
所以該函數(shù)在[2，3]上的最大值為f（2）=-2，最小值為f（3）=-

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：抽象函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題只能用定義，因此要合理對(duì)已知等式中的x，y合理賦值，變換出f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）是解題的關(guān)鍵．已知特定的函數(shù)再求值的問(wèn)題，一般是賦值法．