Question

設(shè)S_n是數(shù)列[a_n}的前n項(xiàng)和，a1=1，

S

2 n

=an(Sn-

1

2

)，(n≥2)．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)；
（2）設(shè)bn=

Sn

2n+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）由條件可得n≥2時(shí)，

S

2 n

=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)，整理可得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，故數(shù)列{

1

sn

}是以2為公差的等差數(shù)列，其首項(xiàng)為

1

S1

=1，由此求得s_n．再由an=

2 S 2 n

2Sn-1

求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由（1）知，bn=

Sn

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，用裂項(xiàng)法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（1）∵

S

2 n

=an(Sn-

1

2

)，
∴n≥2時(shí)，

S

2 n

=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)，
展開化簡(jiǎn)整理得，S_n-1-S_n =2S_n-1S_n，∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，∴數(shù)列{

1

sn

 }是以2為公差的等差數(shù)列，其首項(xiàng)為

1

S1

=1．
∴

1

Sn

=1+2(n-1)，Sn=

1

2n-1

．
由已知條件

S

2 n

=an(Sn-

1

2

) 可得 an=

2 S 2 n

2Sn-1

=

1，n=1 -2 (2n-1)(2n-3) ，n≥2

．
（2）由于 bn=

Sn

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和 Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]，
∴Tn=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差關(guān)系的確定，用裂項(xiàng)法對(duì)數(shù)列進(jìn)行求和，屬于中檔題．