Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2
（Ⅰ）證明：AP⊥BC；
（Ⅱ）在線段AP上是否存在點(diǎn)M，使得二面角A-MC-β為直二面角？若存在，求出AM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：以O(shè)為原點(diǎn)，以AD方向?yàn)閅軸正方向，以射線OP的方向?yàn)閆軸正方向，建立空間坐標(biāo)系，我們易求出幾何體中各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
（I）我們易求出，的坐標(biāo)，要證明AP⊥BC，即證明•=0；
（II）要求滿足條件使得二面角A-MC-β為直二面角的點(diǎn)M，即求平面BMC和平面APC的法向量互相垂直，由此求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)空間兩點(diǎn)之間的距離公式，即可求出AM的長(zhǎng)．
解答：解：以O(shè)為原點(diǎn)，以AD方向?yàn)閅軸正方向，以射線OP的方向?yàn)閆軸正方向，建立空間坐標(biāo)系，
則O（0，0，0），A（0，-3，0），B（4，2，0），C（-4，2，0），P（0，0，4）
（I）則=（0，3，4），=（-8，0，0）
由此可得•=0
∴⊥
即AP⊥BC
（II）設(shè)=λ，λ≠1，則=λ（0，-3，-4）
=+=+λ=（-4，-2，4）+λ（0，-3，-4）
=（-4，5，0），=（-8，0，0）
設(shè)平面BMC的法向量=（a，b，c）
則

令b=1，則=（0，1，）
平面APC的法向量=（x，y，z）
則
即
令x=5
則=（5，4，-3）
由=0
得4-3=0
解得λ=
故AM=3
綜上所述，存在點(diǎn)M符合題意，此時(shí)AM=3
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是線線垂直的判定，與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，其中建立空間坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量，然后將垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量垂直即向量?jī)?nèi)積等0是解答本題的關(guān)鍵．